Aplicaciones de la derivada (Extremos relativos). Caso: Inversión

in spanish •  11 days ago 
Saludos amigos de steemit. En esta ocasión quiero aplicar una de las aplicaciones que tiene la derivada como es el caso del cálculo de los extremos relativos, es decir los puntos máximos y puntos mínimos, pero esta vez aplicado a la inversión.

Para el caso de la inversión quiero exponer un caso, en el que por ejemplo: existe un inversionista que está estudiando diferentes mercados para invertir, hasta que le recomiendan un mercado en particular, lo único que se le proporciona como fuente de datos es un histórico de los precios:

Para el caso del inversionista, lo que se desea es poder corroborar que ciertamente ese mercado alcanzó su precio más bajo el día dos, y que realmente haya alcanzado su máximo precio el tercer día.

Para la solución del problema se debe recurrir a los conocimientos de la aplicación de la derivada para extremos relativos, para este caso en particular voy a usar el criterio de la primera derivada para calcular:

  1. El punto máximo (punto donde se alcanzó el mayor precio el mercado).
  2. El punto mínimo (punto donde se alcanzó el menor precio el mercado).

El escenario se plantea de la siguiente manera: para poder aplicar la aplicación de la derivada para extremos relativos se necesita una función a la cual se le pueda aplicar la primera derivada, como no se tiene en este la ecuación de la función, lo primero que se debe hacer es proyectar una función polinómica en base a los puntos que nos dan como dato, como se quiere encontrar los posibles puntos máximos y mínimos, la recomendación es adoptar esos puntos a una ecuación general de tercer grado, para ello se tiene que la forma general de una ecuación de tercer grado es la siguiente:

Para conseguir la ecuación de la función cúbica, debemos resolver un sistema de ecuaciones que resultan de sustituir cada uno de los puntos del récord histórico entregado al inversionista en la forma general de la ecuación de tercer grado, para ello se tiene que:

  • Trabajamos con el punto (0,0)

Si se sustituye x=0 e y=0 en la ecuación general, nos queda que d = 0

  • Trabajamos con el punto (1,4)

Si se sustituye x = 1 e y = 4 en la ecuación general nos queda:

Como d = 0 entonces nos queda la primera ecuación:

  • Trabajamos con el punto (2,2)

Si se sustituye x = 2 e y = 2 en la ecuación general, nos queda:

  • Trabajamos con el punto (3,5)

Si se sustituye x = 3 e y = 5 en la ecuación general nos queda:

Ahora con la ecuaciónNº3 y la ecuación Nº2 podemos trabajar por el método de cancelación para conseguir la ecuación Nº4, y nos queda así:

En el caso de la ecuación 2 y 3 tenemos iguales los términos 4b y 2c entonces podemos multiplicar cualquiera de las dos ecuaciones por -1, lo que nos queda que:

Si resolvemos la suma algebraica de las dos ecuaciones nos resulta la ecuación Nº4, y debido a que b y c se cancelan en la suma nos queda:

Como ya tenemos el valor de a = 0,1578 y el de d = 0 podemos trabajar con las ecuaciones 2 y 1, nos queda que:

Para este caso multiplicamos la ecuación Nº1 por -2 para de esta forma cancelar el término c, nos queda:

Si realizamos la suma algebraica nos queda:

Como a = 0,1578 se sustituye el valor de a:

Se despeja la incógnita b y nos queda:

Nos queda que el valor de b = 0,5266, por lo que se puede sustituir los valores de a y b en cualquiera de las ecuaciones encontradas, en este caso los voy a sustituir en la ecuación 1:

De la ecuación anterior despejamos c:

Finalmente la función cúbica a la cual le vamos a aplicar el criterio de la primera derivada es:

Criterio de la primera derivada para extremos relativos

Básicamente este criterio dice que tengo que encontrar los números críticos de la función, para este caso los números críticos de esta función se consiguen cuando f’(x)=0. Luego que se consiguen los números críticos, se deben evaluar los intervalos que delimitan estos números críticos en la primera derivada, y si se cumple que:

  1. Si f’(x)>0 se dice que la función es creciente en ese intervalo que contiene al número crítico de prueba.

  2. Si f’(x)<0 se dice que la función es decreciente en ese intervalo que contiene al número crítico de prueba.

  3. Donde exista un cambio de positivo (+) a negativo (-) existe un punto máximo.

  4. Donde exista un cambio de negativo (-) a positivo (+) existe un punto mínimo.

Procedemos entonces a encontrar la primera derivada de la función cúbica:

Como se puede apreciar la primera derivada de la función cúbica, nos queda que la ecuación resultante es una ecuación de segundo grado, como el criterio de la primera derivada nos dice que debemos igualar la primera derivada a cero, nos queda:

La ecuación general de segundo grado tiene la forma :

Por lo que para el caso de esta ecuación de segundo grado se tiene que:

A= 0,4734

B= 1,0532

C= -0,6844

Para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado aplicamos la siguiente fórmula:

De la cual la primera solución es:

Mientras que la segunda solución es:

La solución de esta ecuación de segundo grado arroja dos números críticos que son c1= 2,16 y c2= -2,75. Estos dos números críticos delimitan los siguientes intervalos:

  1. (-∞;-2,75]
  2. [-2,75;2,16]
  3. [2,16;∞)

Para el caso del primer intervalo podemos probar con un valor que este dentro del intervalo, como por ejemplo x = -3, lo que implica que debemos de evaluar x = -3 en la primera derivada y darnos cuenta de su signo, nos queda que:

La sustitución del valor de prueba del primer intervalo en la primera derivada nos dio positivo, lo cual es un indicativo que la función cúbica crece en el intervalo (-∞;-2,75]

Para el caso del segundo intervalo probamos con un valor dentro del intervalo, ejemplo x = 0, lo que implica que debemos de evaluar x = 0 en la primera derivada y darnos cuenta de su signo, nos queda que:

La sustitución del valor de prueba del segundo intervalo en la primera derivada nos dio negativo, lo cual es un indicativo que la función cúbica decrece en el intervalo [-2,75;2,16]

Para el caso del tercer intervalo probamos con un valor dentro del intervalo de x = 3, lo que implica que debemos de evaluar x = 3 en la primera derivada y darnos cuenta de su signo, nos queda que:

La sustitución del valor de prueba del tercer intervalo en la primera derivada nos dio positivo, lo cual es un indicativo que la función cúbica crece en el intervalo [2,16;∞)

Se puede concluir que la función cúbica tiene un cambio de (+) a (-) en x= -2,75 por lo cual se puede afirmar que en x= -2,75 existe un punto máximo, como un punto en el plano cartesiano tiene coordenadas (x,y) para este caso de este punto máximo solo tenemos la coordenada en x del punto máximo que representa el día en que se alcanzó el máximo valor de precio del mercado en estudio.

Para saber cuál fue el máximo precio alcanzado para ese día, tenemos que sustituir x= -2,75 en la función cúbica, para ello nos queda que:

El punto máximo tendría coordenadas (-2,75; 2,58) lo que significa que 2,75 días antes del registro histórico de precios del mercado se había alcanzado un precio máximo de 2,58 $

Se puede concluir también que la función cúbica tiene un cambio de (-) a (+) en x= 2,16 por lo cual se puede afirmar que en x= 2,16 existe un punto mínimo, como un punto en el plano cartesiano tiene coordenadas (x,y) para este caso de este punto mínimo solo tenemos la coordenada en x del punto mínimo que representa el día en que se alcanzó el mínimo valor de precio del mercado en estudio.

Para saber cuál fue el mínimo precio alcanzado para ese día, tenemos que sustituir x= 2,16 en la función cúbica, para ello nos queda que:

El punto mínimo tendría coordenadas (2,16; 2,57) lo que significa que el día 2,16 después de haberse contabilizado el registro histórico de precios del mercado se alcanzó un precio mínimo de 2,57$.

Conclusiones del caso de inversión del mercado

[1] Una de las cualidades que busca el inversionista en el mercado es que existan puntos máximos y mínimos en la fluctuación de los precios, ya que es importante saber por medio del criterio de la primera derivada donde están los puntos mínimos que representaría el momento idóneo para comprar, y saber también dónde están los puntos máximos para vender acciones.

[2] Por medio de datos históricos del comportamiento de precio de determinado mercado se puede predecir matemáticamente este comportamiento por medio de la ecuación de una función polinómica, tal fue el caso del ejemplo explicado, cuyos datos se aproximaron a la ecuación de una función cúbica.

[3] Es muy importante aplicar el criterio de la primera derivada en este caso ya que con la aplicación de la derivada para extremos relativos podemos encontrar los puntos máximo y mínimos de la función sin tener que graficar para conseguir los extremos de la función.

[4] Los puntos del récord histórico en los que presuntamente se habían alcanzado los puntos máximos y mínimos no corresponden con los encontrados con el criterio de la primera derivada, por lo que los nuevos puntos encontrados son realmente los puntos máximos y mínimos en relación a los precios del mercado.

Bibliografía consultada y recomendada para la aplicación de la derivada caso extremos relativos

[1] Cálculo con Geometría analítica. Autor: Larson y Hostetler. Volumen I.

[2] Cálculo de Louis Leithold. Séptima edición.

Nota: Todas las imágenes y ecuaciones planteadas en este artículo son de mi completa autoría.

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@carlos84.-na excelente aplicación de la derivada que, al igual que la integral, tiene aplicaciones no solo matemáticas, sino también económicas.

Correcto @hugo1954 también tiene aplicaciones y muy importantes la derivada como es el de la economía, saludos y gracias por comentar

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