Motivación de funciones multivariables // Caso paraboloide circular aplicado en antenas receptoras de satélites

in entropia •  3 months ago  (edited)
Saludos mis queridos y estimados lectores.

Siguiendo con mi serie temática dedicada a la motivación del estudio del cálculo y geometría analítica en sus diversas aplicaciones en la tecnología y la ciencia, hoy les presento una aplicación de una función de dos variables f(x,y), específicamente el paraboloide circular.

El objetivo del presente artículo es mostrarles a ustedes como el conocimiento y aplicación de la forma geométrica del paraboloide circular puede incidir en la forma de captar satélites de antenas receptoras. Si bien es cierto el estudio de funciones más comúnmente conocidas por muchos de los que hemos cursado cálculo, son funciones de una sola variable, cuya característica principal es poder llegar a graficar muchas de estas funciones en el plano cartesiano.

Sin embargo por muchas aplicaciones de la ciencia y la ingeniería, el estudio sobre la geometría y forma de muchas de estas funciones debe trascender y proyectarse al estudio de funciones de más de una variable, en este caso trataré el caso del paraboloide elíptico aplicado al uso de antenas receptoras de satélites.

Antecedentes de las antenas receptoras de satélites

Las antenas receptoras de satélites que se consideran más antiguas, tenían un largo diámetro de 10 pies, es decir aproximadamente 3.048 metros de longitud. Los suscriptores de emisiones vía satélite, pueden captar dichas emisiones en los tiempos actuales mediante un conjunto de antenas que poseen un diámetro de menor longitud que la más antiguas de aproximadamente 1, 5 pie de diámetro, es decir de aproximadamente 0.5 metros de diámetro.

No es si no hasta 1970, donde las antenas receptoras de satélites alcanzaron un tamaño ajustado a las necesidades y comodidades adaptadas al confort de la nueva era tecnológica, es notable la evolución que han tenido, y es que han pasado de migrar de modelos grandes y difíciles de manejar, hacia modelos muchos más pequeños, sencillos de poder acoplar en techos, tejados, en fin en cualquier parte donde sea de fácil acceso su instalación.

De un tiempo para acá, las forma de las antenas ha permanecido invariable, en su mayoría todas tienen una forma geométrica de paraboloide circular, esta forma desde sus inicios no se dio a capricho, sino más bien de forma intencionada, ya que esta forma de paraboloide circular permite a la antena captar señales de unas milmillonésimas partes de vatio.

antena-parabolica.jpg

Fuente de la imagen. Pixabay

Vinculación del paraboloide circular a las antenas receptoras de satélites

Si estudiamos y evaluamos el origen del paraboloide circular, podemos concluir que el paraboloide circular es una forma de paraboloide elíptico, para poder demostrar que el paraboloide circular deriva del elíptico, veamos la ecuación general del elipsoide:

ecuacion-general-del-eipsoide.png

Autor de la imagen: @carlos84

Ahora bien, si analizamos un poco esa es la ecuación del elipsoide, pero si a la variable z le quitamos el cuadrado y despejamos z, obtendremos una función cuya representación sería el paraboloide elíptico:

ecuacion-general-del-paraboloide-eliptico.png

Autor de la imagen: @carlos84

Para que el paraboloide elíptico sea función se tiene que cumplir que f(x,y) = Z, por lo que resulta necesario despejar Z, una de las formas representativas (paramétricas) del paraboloide elíptico es:

ecuacion-parametrica-del-parabolide-eliptico.png

Autor de la imagen: @carlos84

Hasta este punto no tenemos la ecuación de una función de dos variables que represente la ecuación de un paraboloide circular, sin embargo podemos decir que esta situación ocurre cuan a=b, lo que implica que la ecuación paramétrica del paraboloide circular es:

ecuaci-n-parametrica-del-parabolide-circular.png

Autor de la imagen: @carlos84

Una de las características geométricas de esta función de dos variables es que el paraboloide circular de ecuación paramétrica, es que es cóncava hacia arriba y su vértice en el origen. Un ejemplo de la gráfica de un paraboloide circular lo podemos obtener graficando la siguiente función con el software geogebra 5.0. Ejemplo:

ejercicio-y-grafico-del-parabolide-circular.png

Autor de la imagen: @carlos84

paraboloide-circular-geogebra.png
Autor de la imagen: @carlos84

Realizando la comparación de la antena receptora satelital con el paraboloide circular, el eje del paraboloide debe pasar por el eje de la posición en la que se encuentra ubicada el satélite que se desea captar, lográndose que las señales sean paralelas al eje del paraboloide.

Cuando estos rayos inciden en la superficie de la antena en cualquier punto P de la trayectoria de las sucesivas parábolas del paraboloide circular, se reflejarán como si la reflexión se produjera en el plano tangente a la superficie en algún punto P.

Consideraciones Geométricas

- Todas las parábolas sucesivas del paraboloide circular poseen una propiedad de reflexión especial.

  • Todos los rayos incidentes paralelos al eje de la parábola se reflejan hacia el foco de la parábola.

Saludos amigos y hasta una próxima entrega.

Bibliografía consultada

1. Cálculo con Geometría Analítica. Volumen II. Autor: Larson y Hostetler.

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Gracias por el apoyo al equipo de cervantes y a ramonycajal. Saludos

  ·  3 months ago Reveal Comment

Gracias mi querida amiga @vikvitnik, correcto las ecuaciones canónicas de las superficies cuádricas tienen múltiples comparaciones con muchas formas de objetos de la vida cotidiana, tal es el caso por ejemplo del paraboloide hiperbólico (comúnmente llamado silla de montar caballos), tiene semejanza a la forma de una silla de montar caballos y también a la forma ondulada de las papas ruffles.

En esta serie temática que estoy llevando de cálculo III muy pronto estaré hablando sobre esta aplicación.

Gracias por aporte en tu comentario. Saludos